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Mathematik Klasse 8

Funktionen

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren dient dem lösen von Gleichungssystemen.

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Kontext:

Thema 17:

Das Gleichsetzungsverfahren

Thema 19:

Das Additionsverfahren

Mathematik – Buch / 3

Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen -46-

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren weicht im Prinzip nur ein wenig vom Gleichsetzungsverfahren ab. Schüler fragen sich jetzt bestimmt, warum noch ein Verfahren (das Additionsverfahren kommt ja auch noch)? Die Antwort gebe ich, nachdem ich alle Verfahren vorgestellt habe...

Also noch ein wenig Geduld: Aber ich kann euch schon mal ein wenig verraten:

Manchmal geht ein bestimmtes Verfahren halt viel viel schneller als ein anderes und weil man sich dann nicht so lange an der Aufgabe aufhalten muss, nimmt man ein schnelleres... Und außerdem: Mathematiker sind faule Leute... J

Also weiter...

(Nicht wundern... Die Gleichungen werden auch oft mit römisch I und römisch II bezeichnet... Ist nur eine Vereinfachung und Verallgemeinerung)

Aufgabe:

1) Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.

a) I x=3y-2 und II 4x-9y=1

Lösung:

1. Schritt:

Einsetzen von x in I

Rechnung:

4(3y-2)-9y=1

12y-8-9y=1 |+8

3y=9 | :3

y=3

2. Einsetzen von y in I

x=33-2=9-2=7

3. Angabe der Lösungsmenge

L={7; 3}

Wir ihr seht, wurde I nicht nach y aufgelöst, weil es schon nach x aufgelöst war...

Und deshalb kann man x gleich in II einsetzen... Wie ihr seht: Es geht viel schneller, als wenn man es noch nach y auflösen sollte... J

Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen -47-

Übungen zum Thema: Einsetzungsverfahren:

1) Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.

a) 2x+3y=18 und 3x-2y=1

1. Schritt:

Auflösen von I nach y

Rechnung:

2x+3y=18 |-2x

3y=-2x+18 |:3

y=x+6

2. Einsetzen von y in II

3x-2(x+6)=1

3x+x-12=1 |+12

4x=13 |:4

x=3

3. Einsetzen von x in I

y=3+6=-2+6=4

4. Angabe der Lösungsmenge

L={3; 4}

Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen -48-

1) Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.

a) 0,8x+0,2y=6 und 2x+0,5y=0,5

1. Schritt:

Rechnung:

0,8x+0,2y=0,6 |-0,8x

0,2y=-0,8x+0,6 |:0,2

y=-4x+3

2x+0,5y=0,5 |-2x

0,5y=-2x+0,5 | :0,5

y=-4x+1

2. Gleichsetzen von I und II

-4x+3=-4x+1 |+4x

3=1

3. Angabe der Lösungsmenge

L={}

1) Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.

a) 12x+8y=16 und 1,5x+y=2

1. Schritt:

Rechnung:

12x+8y=16 |-12x

8y=-12x+16 |:8

y=-1 ½ x+2

1,5x+y=2 |-1,5x

y=-1,5x+2

2. Gleichsetzen von I und II

-1 ½ x+2=-1,5x+2

3. Angabe der Lösungsmenge

L={x; y|y=-1 ½ x+2 } à (sieht schwer aus, bedeutet aber nur, dass die Lösungen in y=-1 ½ x+2 stecken ;) D.h. man braucht nur einen x-Wert in die Gleichung einzusetzen und kann den y-Wert berechnen.)