Mathematik – Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen                                                      -311-

 

Exponentialfunktionen

 

1. Bestimme die Funktionen der Graphen.

 

 

a) 22^x

b) 2 ( ½ )^x

c) 44^x

d) 4 ( ¼ )^x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Bestimmung von Exponentialfunktion der Form f(x)=ba^x

 

1. Graphen

 

Wenn man einen Graphen der Form f(x)=ba^x gegeben hat, und nun seine Funktionsvorschrift bestimmen will, geht man so vor:

 

Vorgehensweise:

 

1. Zuerst sucht man sich S_y (den Schnittpunkt mit der y-Achse) und einen anderen Punkt am Besten (0; __).

 

P1(0; 4)    P2(1; 1)

 

2. Danach berechnet man zuerst b.

 

f(0)=b=4

 

3. Nun berechnet man a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2. Punkte

 

Wenn man zwei unterschiedliche Punkte gegeben hat, geht man wie folgt vor:

 

Vorgehensweise:

 

1. Einsetzung in den Funktionsterm

 

ba^-1=24 und ba^1,5=0,75= ¾

 

2. Auflösen der 1. Gleichung nach b

 

b=24a

 

3. Einsetzen in die 2. Gleichung

 

24aa^1,5= ¾

a^2,5=1/32 bzw. a^5/2=1/32

 

4. Potenzieren mit 2/5, um a¹ zu erhalten

 

a=(1/32)^2/5= ¼

 

5. Berechnung von b durch Einsetzen in die 1. Funktion

 

b( ¼ )^-1+=24; 4b=24; b=6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgaben zu Exponentialfunktionen der Form f(x)=ba^x

 

1. Bestimme a und b so, dass der Graph der Exponentialfunktion f(x)=ba^x durch die Punkte P und Q geht.

 

a) P (0,10); Q (1; 1)   b) P (0, ¼  ); Q (1,1)    c) P (0,√4); Q (1,2)  

 

d) P (4, 2); Q (6, 15)     e) P (1,10); Q (4,40)     f) P (5,36); Q (16,6)  

 

g) P (2,3); Q (6,75)     h) P (3,30); Q (3,5)     i) P (4,12); Q (7,10)  

 

k) P (0,c); Q (1,y)     l) P (0,b); Q (x,1)     m) P (0,10); Q (c,d)  

 

2. Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Exponentialfunktionen.

 

a) f(x)=(0,8)^x   b) f(x)=0,8(0,8)^x   c) f(x)= ½ (0,7)^x   d) f(x)=(0,7)^x   e) f(x)= ½ (0,7)^x+1

 

Vergleiche die Graphen. Wie gehen sie auseinander hervor?

 

3. Schreibe die Funktion in der Form f(x)=ba^x . Zeichne ihren Graphen.

 

a) f(x)=3^x-1    b) f(x)=4^2x    c) f(x)=3^2x+3   d) f(x)=( ½ )^x-1

 

e) f(x)=(√4)^2x+4    f) f(x)=(√4)^4x    g) f(x)=(Ö4)^3x+4  h) f(x)=(³Ö5)^6x-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Lösungen:

1)

a)

P (0;10); Q (1; 1)  

y=ba^x  

 

ba⁰=10 und ba¹=1

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

10=ba⁰

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

10=ba⁰

10=b1  |:1

 b=10

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba¹=1

10a¹=1  

      a=1/10

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

10=b0,1⁰

  b=10

 

a=1/10

b)

 

P (0, ¼  ); Q (1,1)

y=ba^x  

ba⁰=0,25 und ba¹=1

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

0,25=ba⁰

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

0,25=ba⁰

0,25=b1  |:1

 b=0,25

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba¹=1

0,25a¹=1  

      a=4

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

0,25=b4⁰

  b=0,25

    a=4

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c)

P (0,√4); Q (1,2)  

y=ba^x  

 

 

ba⁰=√4=2 und ba¹=2

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

2=ba⁰

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

2=ba⁰

2=b1  |:1

 b=2

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba¹=2

2a¹=2  

      a=1

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=2

 

a=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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d)

P (4, 2); Q (6, 15)    

y=ba^x  

 

 

ba⁴=2 und ba⁶=15

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

2=ba⁴

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

2=ba⁴  |:a⁴

 b=2/a⁴

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba⁶=15

2/a⁴a¹=15  

2/a³=15   |:2

1/a³=7,5   |a³

    1=7,5a³    |:7,5

   a³=1/7,5        |³√

    a=³√1/7,5

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=2/(³√1/7,5)⁴

b=0,68

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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e)

P (1,10); Q (4,40)    

y=ba^x  

 

ba¹=10 und ba⁴=40

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

10=ba¹

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

10=ba¹  |:a⁴

 10= ba    |:a

   b=10/a

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba⁴=40

10/aa⁴=40  

10a³=40     |:10

        a³=4       |³√

        a=³√4

        a=1,58

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=10/a

b=10/1,58

b=6,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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f)

P (5,36); Q (16,6)  

y=ba^x  

 

ba⁵=36 und ba¹⁶=6

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

36=ba⁵

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

36=ba⁵  |:a⁵

 b=36/a⁵

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba¹⁶=6

36/a⁵a¹⁶=6  

36a¹¹=6    |:36

       a¹¹=1/6    |¹¹√

          a=¹¹√1/6

          a=0,85

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=36/a⁵=36/0,85⁵=81,13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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g)

P (2,3); Q (6,75)    

y=ba^x  

 

 

ba²=3 und ba⁶=75

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

3=ba²

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

3=ba²   |:a²

b=3/a²

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba⁶=75

3/a²a⁶=75

3a⁴=75      |:3

a⁴=25

a=2,23

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=3/2,23²=0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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h)

P (3;30); Q (3;5)

y=ba^x  

 

ba³=30 und ba³=5

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

30=ba³

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

30=ba³   |:a³

  b=30/a³

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba³=5

30/a³ a³=5

           30=5, aber 30 ungleich 5 , deshalb liegen nicht beiden Punkte auf dem Graphen!

 

Ist ja auch klar, denn der x-Wert 3 kann bei einer Funktion nicht zwei y-Werte annehmen!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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i)

 

P (4;12); Q (7;10)  

y=ba^x  

 

ba⁴=12 und ba⁷=10

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

12=ba⁴

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

12=ba⁴   |:a⁴

  b=12/a⁴

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba⁷=10

12/a⁴ a⁷=10

        12/a³=10     |:12

             a³=5/6

              a=0,941

 

Berechung von b durch Einsetzen in die 1. Gleichung:

 

b=12/0,941⁴=15,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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k)

 

P (0 ;c); Q (1 ;y)    

y=ba^x  

 

ba⁰=c und ba¹=y

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

c=ba⁰

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

c=ba⁰  

  b=c

 

Einsetzen in die 2. Gleichung:

 

ba¹=y

ca=y

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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l)

P (0 ;b); Q (x ;1)    

 

y=ba^x  

 

ba⁰=b und ba^x=1

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

b=ba⁰

b=b

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

1=ba^x  

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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m)

 

P (0 ;10); Q (c ;d)

 

y=ba^x  

 

ba⁰=10 und ba^c=d

 

Einsetzen in den Funktionsterm:

 

10=ba⁰

 b=10

 

Auflösen der 1. Gleichung nach b:

 

d=ba^c  

 

...

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2)

 

a)

 

 

3)

 

a) f(x)=3^x-1 =3( 1/3 )^x

b) f(x)=4^2x=8^x   

c) f(x)=3^2x+3=9^x27  

d) f(x)=( ½ )^x-1=20,5^x

e) f(x)=(√4)^2x+4=164^x   

f) f(x)=(√4)^4x=16^x   

g) f(x)=(Ö4)^3x+4=168^x

h) f(x)=(³Ö5)^6x-3=0,25^x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgaben zu Exponentialfunktionen der Form f(x)=b*a^x

 

1. In einem See verringert sich je 1 m Wassertiefe die Helligkeit um 40%. In 1 m Wassertiefe zeigt der Belichtungsmesser 3000 Lux.

 

a) Die Funktion Tiefe à Beleuchtungsstärke hat die Form f(x)=ba^x . Bestimme a und b. Zeichne den Graphen.

 

b) Bestimme am Graphen, nach wie viel m jeweils die Beleuchtungsstärke halbiert wird.

 

2. Milchsäurebakterien verdoppelt ihre Anzahl bei 38°C etwa alle halbe Stunde. Bestimme die Funktion Zeit (in h) à Anzahl der Bakterien für eine Bakterienkultur mit anfangs 1000 Bakterien.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Lösungen:

 

1)

 

a) 5000(6/10)^x

 

 

b)

 

0,5=3000 (4/10)^x  |3000

1/6000=(4/10)^x

 

2)

 

a) f(x)=10004^x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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