Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -255-
Umkehrfunktion
Ergebnis der Mathematikarbeit
Der Lehrer liest vor: Hans und Lotte haben eine 3, Lisa und
Rolf eine 1, Charlotte, Benno und Karin eine 2, Fritz eine 4.
Stelle diese Zuordnung in Form eines Pfeildiagramms dar.
Schüler à Noten
in der Mathematikarbeit
Bernd
Peter 1
Miriam 2
3
Wolfgang
4
Funktion, weil jedem Element der Definitionsmenge genau
ein Element der Wertemenge zugeordnet ist.
Gib nun in Form eines Pfeildiagramms an, welcher Note des
Zeugnisses welche Note in der Mathematikarbeit zugeordnet ist.
1
1 2
3
4
Keine Funktion
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -256-
1. Stelle eine Wertetabelle auf und danach stelle die
Wertetabelle für die Umkehrfunktion auf.
|
x
|
x3=y
|
|
1,8
|
6
|
|
1,6
|
5
|
|
1,5
|
4
|
|
1,3
|
3
|
|
1,1
|
2
|
|
1
|
1
|
|
x3=y
|
x
|
|
6
|
1,8
|
|
5
|
1,6
|
|
4
|
1,5
|
|
3
|
1,3
|
|
2
|
1,1
|
|
1
|
1
|
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -257-
Bestimmung von Umkehrfunktionen :
1. Stelle die Funktionsvorschrift auf.
f(x)=xn
2. Danach stellt man die Funktionsvorschrift auf.
y=xn
3. Nun tauscht man x und y.
x=yn
4. Danach löst man nach y auf.
x=yn n√
y=x1/n
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Zuordnungen -258-
Umkehrfunktionen
|
|
f
|
f’
|
|
Definitionsmenge
|
D
|
W
|
|
Wertemenge
|
W
|
D
|
Die Definitionsmenge und die
Wertemenge werden bei der Umkehrfunktion vertauscht.
|
x
|
x3=y
|
|
1,8
|
6
|
|
1,6
|
5
|
|
1,5
|
4
|
|
1,3
|
3
|
|
1,1
|
2
|
|
1
|
1
|
|
x3=y
|
x
|
|
6
|
1,8
|
|
5
|
1,6
|
|
4
|
1,5
|
|
3
|
1,3
|
|
2
|
1,1
|
|
1
|
1
|
Liegt eine Umkehrfunktion vor, kann man ihren Graphen
graphisch durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x des Graphen des
Ursprungsgraphen ermitteln.
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Zuordnungen -259-
Bestimmung des Graphen von Umkehrfunktionen
Vorgehensweise:
1. Zuerst hat man zu einer Funktion einen Graphen.
2. Danach zeichnet man die Winkelhalbierenden y=x.
3. Nun spiegelt man den Graphen und erhält den Graphen zur
Umkehrfunktion.
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Zuordnungen -260-
Bestimmung des Graphen von Umkehrfunktionen
1. Ermittle graphisch die Umkehrfunktionen zu.
a) f(x)=2x+2
b) f(x)=x2
c) f(x)=1/x+2
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Zuordnungen -261-
Lösungen:
1.
a)
b)
c)
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Zuordnungen -262-
Umkehrfunktionen
1. Ermittle graphisch die Umkehrfunktionen zu.
a) f(x)=2x+2
b) f(x)=x2
c) f(x)=1/x+2
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Zuordnungen -263-
Lösungen:
1.
a)
|
x
|
y
|
|
_
x
|
_
y
|
|
-2
|
-2
|
-2
|
-2
|
|
-1
|
0
|
0
|
-1
|
|
0
|
2
|
2
|
0
|
|
1
|
4
|
4
|
1
|
|
2
|
6
|
6
|
2
|
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Zuordnungen -264-
b)
|
x
|
y
|
|
_
x
|
_
y
|
|
-2
|
4
|
4
|
-2
|
|
-1
|
1
|
1
|
-1
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
4
|
4
|
2
|
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Zuordnungen -265-
c)
|
x
|
y
|
|
_
x
|
_
y
|
|
-2
|
4
|
4
|
-2
|
|
-1
|
1
|
1
|
-1
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
4
|
4
|
2
|
Die Definitionsmenge und die Wertemenge wurden vertauscht.
x und y wurden vertauscht.
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -266-
Bestimmung von Funktionen und Zuordnungen:
1. Wann ist die Umkehrfunktion eine Funktion und wann ist
sie eine Zuordnung?
a) Ist der Graph einer Funktion f im gesamten
Definitionsbereich streng monoton steigend (streng monoton fallend), dann ist
die Umkehrzuordnung eine Funktion.
b) Wird der Graph einer Funktion von allen Parallelen zur
x-Achse genau einmal geschnitten, dann ist die Umkehrzuordnung eine Funktion.
a)
b)
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Zuordnungen -267-
Rechnerische Bestimmung von Umkehrfunktionen:
Vorgehensweise:
1. Zuerst stellt man die Funktionsvorschrift auf.
y=-3x+6
2. Danach vertauscht man x und y.
y=-3x+6
x=-3y+6
3. Nun löst man nach y auf.
y=-3x+6
x=-3y+6 |-6
x-6=-3y | :(-3)
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -268-
Aufgaben zu Umkehrfunktionen
1. Bestimme rechnerisch und graphisch oder zeichnerisch die
Umkehrfunktionen.
a) y=-3x+6
b) y= ¼ x-1
c) y=1/x
a)
y=3x+6
x=3y+6 |-6
x-6=-3y | :3
y=x-6/3
b)
y= ¼ x-1
x= ¼ y-1 |+1
x+1= ¼ y |*4
4x+4=y
y=4x+4
c)
y=1/x
x=1/y |*y
xy=1 | :x
y=1/x
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -269-
a)
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -270-
b)
c)
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Mathematik – Buch / 3. Funktionen /
Zuordnungen -271-
Umkehrfunktionen
Bei Potenzfunktionen f(x)=xn mit n=2m+1 gibt es
eine Umkehrfunktion mit der Wertemenge R.
Bei Potenzfunktionen f(x)=xn mit n=2m gibt es
keine Umkehrfunktion mit der Definitionsmenge R.
Man grenzt die Definitionsmenge D auf R+ ein.
Eine Potenzfunktion mit n є N und D=R+ ist
umkehrbar. Ihre Funktion lautet f(x)=x1/n oder f(x)=n√x
mit D=R+.
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