Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -710-

 

Rechnen mit Logarithmen:

Logarithmusgesetze:

 

1. Gesetz:

 

log_a(u)+log_a(v)=log_a(uv)

 

Beispiel:

 

lg(7a)=lg7+lga

log_a(9b4f)=log_a9+log_ab+log_a4+log_af

 

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

 

2. Gesetz:

 

log_au-log_av=log_a(u/v)

 

Beispiel:

 

log_a8-log_a4=log_a(8/4)

 

Der Logarithmus einer Division ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor.

 

3. Gesetz:

 

log_au^k=klog_au

 

Beispiel:

 

log_au¹⁵=15log_au

 

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt von dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis.

 

4. Gesetz:

 

log_au=lgu/lga

 

Beweis:

 

x=log_au

ßà

a^x=u   |lg

lga^x=lgu 

xlga=lgu    | :lga

      x=lgu/lga

Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -711-

 

Aufgaben zu Logarithmen:

 

1. Bestimme mit dem Taschenrechner.

 

a) log₄(9)   b) log₈(6)   c) log₁₁(0,8)   d) log₁₃(3,7)

 

e) log₃₀(200)   f) log₈(7)   g) log_0,8(0,2)   h) log_0,5(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]

Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -712-

 

Lösungen:

 

1.

 

 

Aufgaben zu Logarithmen

 

1.

 

a) 3lg(x)+5lg(y)-lg(z)   b) log_a(p)- 0,75 log_a(q)+0,25 log_a(r)

 

c) 8lg(b)+0,75 lg(b+x)   d) ¼ log_a(a+b)- 0,75log_a(a-b)

 

e) log_a(2u)-2log_a(v)+log_a(v²)+log_a(1/v)   f) lg(√x)-lg(√9x)+lg(x²)+lg(8)

 

2.  Löse die Funktionen ohne Taschenrechner.

 

a) lg_a(x)=2log_a(4)   b) lg(x)=lg(9)-lg(3)   c) lg(x)=2lg(7)+4lg(5)

 

d) 4log_a(x)=16   e) 4lg(x)=lg(16)+lg(12)  f) log_a(bx)=1+loga(7)

 

3.  Löse nach x bzw y auf.

 

a) log_a(y)=2log_a(y)+ ½ log_a(z)   b) log_a(x)=log_a(u-v)+log_a(u+v)

 

c) log_a(x)=4log_a(u)-2log_a(v)   d) 2log_a(x)+4log_a(u²+v²)=0

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]

Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -713-

 

Lösungen:

 

1.

 

a) 3lg(x)+5lg(y)-lg(z)=lg((x³y⁵)/z)  

b) log_a(p)- 0,75 log_a(q)+0,25 log_a(r)=log_a((p/q^0,75)r^0,25)

c) 8lg(b)+0,75 lg(b+x)=lg(b⁸(b+x)^0,75)  

d) ¼ log_a(a+b)- 0,75log_a(a-b)=log_a((a+b)^0,25/(a-b)^0,75)

e) log_a(2u)-2log_a(v)+log_a(v²)+log_a(1/v)=log_a((2u/v)v²1/v)  

f) lg(√x)-lg(√9x)+lg(x²)+lg(8)=lg((√x/3√x)x²8

 

2)

 

a) log_a(x)=2log_a(4)=log_a(4²)=log_a(16)

             x=16

 

b) lg(x)=lg(9)-lg(3)

    lg(x)=lg(9/3)=lg(3)

          x=3

  

c) lg(x)=2lg(7)+4lg(5)

    lg(x)=lg(49625)

          x=30625

 

d) 4log_a(x)=16    |:4

          log_a(x)=4

 

e) 4lg(x)=lg(16)+lg(12) 

    4lg(x)=lg192

         lg(x⁴)=lg(192)

               x⁴=192

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]

Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -714-

 

3)

 

a) log_a(y)=2log_a(y)+ ½ log_a(z)  

    log_a(y)=log_a(y²z ^½ )

             y= y²z ^½

 

b) log_a(x)=log_a(u-v)+log_a(u+v)

     log_a(x)=log_a((u-v)(u+v))

               x=u²-v²

 

c) log_a(x)=4log_a(u)-2log_a(v)

     log_a(x)=log_a(u⁴/v²)

               x=u⁴/v²

  

d) 2log_a(x)+4log_a(u²+v²)=0     |-log_a((u²+v²)⁴)

                                  log_a(x²)=-log_a((u²+v²)⁴)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]

 

Mathematik – Buch / 7. Logarithmen                                                                              -715-

 

Logarithmen:

 

Berechnung von x:

 

Aufgabe:

 

1. Berechne x.

 

a) lg(x)=2lg(5)+3lg(2)

 

lg(x)=2lg(5)+3lg(2)

ßà

lg(x)=lg(5²2³)

lg(x)=lg200

      x=200

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]