Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -450-
Potenzen:
Wachstum von Bakterien:
Eine Bakterienart verdoppelt alle 20 Minuten ihre Anzahl.
Wie viel Bakterien sind nach 12 Stunden vorhanden?
Behauptung:
Nach 12 h sind 236 Bakterien vorhanden
Wie kommt man darauf?
Wertetabelle:
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min
|
Anzahl
|
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0
|
1=20
|
|
20
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2=21
|
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40
|
4=22
|
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60
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8=23
|
|
80
|
16=24
|
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100
|
32=25
|
|
120
|
64=26
|
|
12h=
720 min
|
236
|
...
Graphische Darstellung:
.
....
20 21 ... Dies ist ein
sogenannter „Funktionsbaum“. An ihm kann man den Sachverhalt sehr gut
darstellen und sich das Ganze, wenn es unklar ist, begreifbar machen.
Funktionsvorschrift:
236
f(x)=2x/20
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -451-
Koordinatensystem der Funktion f(x)=2x/20 :
Koordinatensystem der Funktion f(x)=x2 :
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -452-
Unterschiede:
1. Ein Graph fängt bei 0 an, der andere bei 1.
2. Bei f(x)=2x/20 ist die Variable x im
Exponenten.
Bei f(x)=x2 ist die Variable x in der Basis.
Potenzen:
ab Exponent
Basis
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -453-
Aufgaben:
Potenzen (1)
a) ohne Rechnen
1) Schreibe als Potenz
3125, 10000, 
, 0,49, 0,001, 0,09
2) Schreibe als Potenz
1000000, 10 Milliarden, 1 Billion
Lösungen:
1.
3125=55
10000=104
0,09=0,32
2.
a) 100000=106
b) 10 Milliarden=1010
c) 1 Billion=1012
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -454-
Aufgaben zu Potenzen:
Potenzen (1)
a) ohne Rechnen
1) Schreibe als Potenz
625, 1000, , 0,49, 0,001, 0,09
2) Schreibe als Potenz
100000, 10 Milliarden, 1 Billion
3) Ordne in einer Kette der Größe nach.
a) 2,33; 2,35; 2,37
b) 1,115; 1,117; 1,111
c) 0,58; 0,52; 0,55; 0,51
Lösungen:
1.
625=54
1000=103
0,09=0,32
2.
a) 100000=105
b) 10 Milliarden=1010
c) 1 Billion=1012
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -455-
3.
a) 2,33<2,35<2,37
b) 1,111<1,115<1,117
c) 0,58<0,55<0,52<0,51
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -456-
Regeln für Potenzen mit 
:
1) a>1 à Je
größer b desto größer ab
2) 0<a<1 à
Je größer b desto kleiner ab
3)
- a<0 und b ungerade à
ab<0
- a<0 und b gerade à
ab>0
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -457-
Aufgaben:
1. Welche Potenz steckt dahinter?
a) Hekto b) Kilo c) Mega d) Giga e)
Tera
2. Gerücht.
Anja erfährt ein Gerücht, diese sagt es in einer Stunde 3
anderen, die erzählen es in einer Stunde wieder 3 anderen. Wie viele Leute
wissen es nach 12 Stunden?
a) Erstelle einen Baum
b) Stelle eine Wertetabelle auf
c) Stelle eine Funktion auf
3. Welches der Zeichen <, >, = ist einzusetzen,
damit wahre Aussagen entstehen?
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Wenn
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dann
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p<q und a=1
|
ap ____ aq
|
|
p<q und c=0
|
cp ____ cq
|
|
p<q und x>1
|
xp ____ xq
|
|
p<q und 0<c<1
|
cp ____ cq
|
|
p gerade und -1<a<0
|
ap ____ a2q
|
|
p ungerade und
-1<a<0
|
ap ____ a2q
|
|
p gerade und
a<-1
|
ap ____ a2q
|
|
p ungerade und a<-1
|
ap ____ a2q
|
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -458-
Lösungen:
1.
a) Hekto (h) 102
b) Kilo (k) 103
c) Mega (M) 106
d) Giga (G) 109
e) Tera (T) 1012
2.
a)
Baum:
.
... und so weiter...
b)
Wertetabelle:
|
h
|
Anzahl
|
|
0
|
1=30
|
|
1
|
3=31
|
|
2
|
9=32
|
|
3
|
27=33
|
|
4
|
81=34
|
|
5
|
243=35
|
|
6
|
729=36
|
|
7
|
2187=37
|
|
12
|
531441=312
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Mathematik – Buch / 5. Potenzen und
Wurzeln -459-
c)
Funktionsvorschrift:
f(x)=3x
Beispiel:
x=1 f(1)=31
Nach 6 Stunden erfahren das Gerücht 36=729
Leute+1.
Nach 12 Stunden erfahren das Gerücht 312=531441
Leute+1.
Nach 6 Stunden kennen das Gerücht 1093=36+35+34+33+32+31+30
Leute
Nach 12 Stunde kennen das Gerücht 312+311+310+39+38+3736+35+34+33+32+31+30
Leute.
3.
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Wenn
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dann
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1) p<q und a=1
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ap = aq
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|
2) p<q und c=0
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cp = cq
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3) p<q und x>1
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xp < xq
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4) p<q und 0<c<1
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cp > cq
|
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5) p gerade und -1<a<0
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ap < a2q
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6) p ungerade und
-1<a<0
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ap < a2q
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7) p gerade und
a<-1
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ap < a2q
|
|
8) p ungerade und a<-1
|
ap < a2q
|
Begründungen:
1) a=1, das heißt egal welcher Exponent (14=1, 17=1)
a bleibt 1, so ap=aq
2) c=0, das heißt egal welcher Exponent (04=0, 07=0)
c bleibt 0, sp cp=cq
3) x>1, das heißt natürliche positive Zahl, da p<q
ist, muss xq größer als xp sein (weil p<q), so xp<xq
4) 0<c<1, deshalb ist c z.B. 0,3. Da p<q ist bei cp
der Exponent kleiner, aber die Potenz größer, so cp=cq
5) Da a eine negative Zahl (aber kleiner –1 sein muss), kann
es z.B. –2 sein, Weil man den Exponenten noch mal mit 2 multipliziert, muss es
größer sein, so ap<a2p
6) Da a eine negative Zahl (aber kleiner –1) sein muss, kann
es z.B. –2 sein. Weil p ungerade ist und beim anderen der Exponent (durch 2x)
gerade ist, kommt eine positive Zahl heraus und ist somit größer, so ap<a2p
7) Basis kleiner –1 z.B. –2, durch 2x Exponent größer, so ap<a2p
8) Basis kleiner –1 z.B. –2. Durch 2x Exponent bei einem
positiv. Deshalb positive Zahl, so ap<a2p
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