Mathematik – Buch / 5. Potenzen und Wurzeln                                                              -460-

 

Regeln für das Rechnen mit Potenzen:

 

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

 

 

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

 

a^maⁿ=a^m+n

 

 

Beispiele:

 

8³8⁵=88888888=8⁸

 

2⁶2³=2⁶⁺³=2⁹

 

(√3)³(√3)⁷=(√3)¹⁰=3⁵

 

Aufgaben:

 

1) Ordne der Größe nach.

 

a) 2³ ; (-2)³; 2⁵; ( ½ )³; (- ½ )³; (-2)⁵; (-2)⁶

b) 3²; (-3)²; (-3)⁴; (-3)³; (-3)¹; 3³; 3¹

c) 0,5⁴; 0,5⁶; (-0,5)²; (-0,5)³; (-0,5)⁴; 0,5¹; 0,5³

d) ( 1/3 )²; ( 1/3 )¹; (- 1/3 )³; ( 1/3 )⁵; (- 1/3 )⁵; ( 1/3 )⁴; (- 1/3 )¹

 

2) Vereinfache, indem du als eine Potenz schreibst.

 

a) ( ¾ )⁷ ( ¾ )⁹   b) 0,5³0,5⁵   c) (-3)³ (-3)⁴   d) (-6)⁶ (-6)⁷

 

e) (-0,5)⁴(-0,5)   f) (1,6)(1,6)⁷ (1,6)⁵   g) √7³√7⁵   h) √6√6³

 

3) Vereinfache.

 

a) a⁵a⁷   b) a^xaⁿ   c) aa^m    d) aⁿaⁿ  

 

e) a^n-1a⁴    f) a^n-1aⁿ⁺¹   g) x^n-1x^3n-2     h) xx^n-1

 

i) yy^5n-2   k) y³y⁴y^2m  l) zⁿz^mz^p   m) z³z⁴z³

 

n) x^3mx^4mx^5mx^m-1   o) x^2kx^-2k+1x³

 

 

 

 

 

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Lösungen:

 

1)

 

a) 2³=8 ; (-2)³=-8; 2⁵=32; ( ½ )³=1/8; (- ½ )³=-1/8; (-2)⁵=-32; (-2)⁶=64

b) 3²=9; (-3)²=9; (-3)⁴=81; (-3)³=-27; (-3)¹=-3; 3³=27; 3¹=3

c) 0,5⁴=1/16; 0,5⁶=1/64; (-0,5)²= ¼ ; (-0,5)³=-1/8; (-0,5)⁴=1/16; 0,5¹=0,5; 0,5³=1/8

d) ( 1/3 )²=1/9; ( 1/3 )¹= 1/3 ; (- 1/3 )³=-1/27; ( 1/3 )⁵=1/243; (- 1/3 )⁵=-1/243; ( 1/3 )⁴=1/81

; (- 1/3 )¹=- 1/3

 

2)

 

a) ( ¾ )⁷ ( ¾ )⁹ =( ¾ )¹⁶ 

b) 0,5³0,5⁵ =0,5⁸

 c) (-3)³ (-3)⁴ =(-3)⁷ 

d) (-6)⁶ (-6)⁷=(-6)¹³

e) (-0,5)⁴(-0,5)=(-0,5)⁵ 

 f) (1,6)(1,6)⁷ (1,6)⁵ =1,6¹³ 

g) √7³√7⁵ =(√7)⁸ 

h) √6√6³=(√6)⁴

 

3)

 

a) a⁵a⁷ =a¹² 

b) a^xaⁿ =a^x+n 

c) aa^m  =a^m+1 

d) aⁿaⁿ =a²ⁿ 

e) a^n-1a⁴ =a^4+(n-1) 

f) a^n-1aⁿ⁺¹=a^(n-1)+n+1=a²ⁿ  

g) x^n-1x^3n-2=x^(n-1)+(3n-2)    

h) xx^n-1=x^n+n-1=x^2n-1

i) yy^5n-2 =y^1+5n-2=y^5n-1 

k) y³y⁴y^2m =y^7+2m

l) zⁿz^mz^p =z^n+m+p 

m) z³z⁴z³=z¹⁰

n) x^3mx^4mx^5mx^m-1=x^12m+m-1  

o) x^2kx^-2k+1x³=x^2k-2k+1+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Regeln für das Rechnen mit Potenzen:

 

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

 

 

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

 

a^maⁿ=a^m+n

 

 

Beispiele:

 

8³8⁵=88888888=8⁸

 

2⁶2³=2⁶⁺³=2⁹

 

(√3)³ (√3)⁷=(√3)¹⁰=3⁵

 

2. Division von Potenzen mit gleicher Basis

 

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.

 

a^m:aⁿ=a^m-n    für m>n

 

 

Begründung:

 

 

Man kürzt die einzelnen Achten einfach weg.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Einschränkungen:

 

1. m>n        a^m:aⁿ=a^m-n

 

Begründung:

 

 

Man kürzt die einzelnen Achten weg.

 

2. m=0          a⁰=1

 

Begründung:

 

8⁰:8⁰=1/1=1

 

3. m<n          a^m-n=a^-p=1/a^p

 

Begründung:

 

 

Definitionen:

 

1. Definition:

 

 

2. Definition:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgaben:

 

B) Division von Potenzen mit gleicher Basis

 

1) Schreibe als eine Potenz.

 

a) 23¹⁰/23⁶   b) 8¹²/8¹¹  c) x⁹/x⁵   d) x⁴x³/x⁷   e) a⁵/a

 

2) Berechne.

 

a) b^m+7/b⁷    b) (a-d)^k+4/(a-d)⁵    c) y^3k/y^2k   d) 10^2k+2/10000

 

 

Lösungen:

 

1.

 

a) 23¹⁰/23⁶ =23⁴ 

b) 8¹²/8¹¹ =8¹=8 

c) x⁹/x⁵ =x⁴ 

d) x⁴x³/x⁷ =1

e) a⁵/a=a⁴

 

2.

 

a) b^m+7/b⁵ =b^m+7-7=b^m  

b) (a-d)^k+4/(a-d)⁵ =(a-d)^k+4-5=(a-d)^k-1 

c) y^3k/y^2k =y^3k-2k=y^1k=y^k 

d) 10^2k+2/10000=10^2k+2/10⁴=10^2k+2-4=10^2k-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgaben zum Rechnen mit Potenzen mit gleicher Basis

 

Aufgaben / Lösungen:

 

1)

 

a) –2⁶(-2)² =(-2)⁴ 

b) (-7)^-2 (-7)⁴ =(-7)⁶ 

c) (-0,3)⁴:(-0,3)² =(-0,2)²  

d) (-1,6)³ (-1,6)^-4 =(-1,6)^-1

e) (√2)³ (√2)² =(√2)⁵=2²+(√2)¹ 

f) (√3)⁴:(√3)^-1 =(√3)⁵=3²+√3=9+√3

g) (2√2)^-3:(2√2)^-4 =(2√2)¹=2√2 

h) -2√3*(-2√3)^-1 =(-2√3)⁰=1

 

2)

 

a) zⁿ⁺¹z^-n =z¹=z 

b) a^k+1:a^k-1 =a^2k 

c) b^x:b^x-1 =b^-1=1/b  

d) r^2ar^1-a =r^a-1

e) x^3kx^-3k =x¹=x 

f) y^1-k:y^k-1 =y⁰=1  

g) z²:zⁿ =z^2-n 

h) e^-x:e =e^-x-1

i) x⁵/x⁴ =x¹=x  

k) a⁷/a^-3 =a¹⁰ 

l) 4,6a³b/23ab^-2 =0,2a²b³  

m) 56r²s^-1r^-1/1,4*s³r^-2 =40r⁴s^-4r^-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Definitionen:

 

1. Definition:

 

a⁰=1      8⁸/8⁸=8*8*8*8*8*8*8*8/8*8*8*8*8*8*8*8=1/1=1

 

2. Definition:

 

 

3. Definition:

 

 

Beispiele:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgaben zu Potenzen

 

1. Schreibe als Potenz

 

a) 1/36    b) 0,9    c) 1/729    d) 1/360     e) 1/8100000    f) 1/81

 

2. Schreibe als Bruch bzw. als Dezimalzahl.

 

a) 4²10^-2    b) 3^-310^-2   c) 9^-210^-4    d) 9^-210⁴

 

3. Vereinfache.

 

Lösungen:

 

1.

a) 1/36=1/6²=6^-2  

b) 0,9 =9/10=3²*10^-1  

c) 1/729 =1/9³=9^-3  

d) 1/360 =1/361/10=6^-2*10^-1   

e) 1/8100000 =1/811/100000=3^-4*10^-5  

f) 1/81=9^-2

 

2.

 

a) 4²10^-2 =161/100=16/100=0,16 

b) 3^-310^-2 =1/3³1/100=1/271/100=1/2700 

c) 9^-210^-4 =1/9²1/1000=1/811/1000=1/81000  

d) 9^-210⁴ =1/9²1000=1/811000=1000/81

 

3.

 

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