3. Proportionale Zuordnung, umgekehrt proportionale
Zuordnung, Dreisatz
3.1 Proportionale Zuordnung
Bei einer proportionalen Zuordnung wird dem Doppelte
(3fache, ...) der einen Größe das Doppelte (3fache, ...) der anderen Größe
zugeordnet.
Die Zahlenpaare sind quotientengleich.
Die Zuordnung x à
.
Der Quotient der Zahlenpaare ist der Proportionalitätsfaktor
k.
Beispiel:
Ein Buchenholzstück von 15 €3 hat eine Masse von
10,5 g.
Der Quotient (Masse : Volumen) ist 0,7 g/cm3.
Masse=0,7 g/cm3 *Volumen
Die zu einer proportionalen Zuordnung gehörenden Punkte
liegen auf einer Ursprungsgeraden.
3.2 Dreisatz bei einer proportionaler Zuordnung
Beispiel:
Ein Zementsockel von 105 dm3 wiegt 325,5 kg.
Wie viel wiegt ein Sockel von 320 dm3?
Was wollen wir wissen? Wie viel wiegen 320 €3?
1. Was wissen wir 105 dm3 wiegen
325,5 kg
2. Schluss auf die Einheit 
3. Schluss auf das Vielfache 320 dm3 wiegen
dann 
Antwort: Ein Zementsockel von 320 dm3 wiegt
3,1*320 kg=992 kg.
3.3 Umgekehrte proportionale Zuordnung
Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung wird dem
Doppelte (3fache, ....) der einen Größe
Die Hälfte der (3.Teil, ....) der anderen Größe zugeordnet.
Die Zahlenpaare sind produktgleich.
Das Produkt k.
Die Zuordnung ist x à
.
Beispiel:
Ein Recheck mit den Seiten a und b hat einen Flächeninhalt
von 12 cm2. Wenn die Seite a die Länge 3 cm hat, so hat b die Länge
von 4 cm.
Die zu einer umgekehrt proportionalen Zuordnung gehörenden
Punkte liegen auf einer Hyperbel.
Dreisatz bei einer umgekehrt proportionaler Zuordnung:
Beispiel:
In einer Bäckerei werden täglich 280 kg Roggenvollkornmehl
verarbeitet. Der Mehlvorrat ist für 15 Tage berechnet. Während der Ferienmonate
geht der Verbrauch auf täglich 250 kg zurück. Wie viele Tage reicht der Vorrat
nun?
Was wollen wir wissen? Für wie viele Tage reicht der
Vorrat bei verringertem Verbrauch?
1. Was wissen wir? Bei einem Tagesverbrauch von
280 kg reicht es 15 Tage.
2. Schluss auf die Einheit. Bei einem Tagesverbrauch von
1 kg würde es 
Tage
reichen.
3. Schluss auf das Vielfache Bei einem Tagesverbrauch von
250 kg würde es für 
reichen.
Beispielaufgaben werden noch kommen!
4. Terme und Termumformungen
4.1 Bruchterme
Zahlen und Variablen sind Terme. Auch Summe,
Differenz, Produkt und Quotient von Termen sind wieder Terme.
Im Nenner darf kein Term stehen, der die zahl 0 bezeichnet!
Beispiel:
Ein Term, der im Nenner mindestens eine Variable enthält,
heißt Bruchterm.
Beispiel:
In der Definitionsmenge D eines Bruchterms dürfen die
Zahlen nicht vorkommen, für die der Nenner 0 wird.
Beispiel:
Alle Umformungen von Termen nach den Rechengesetzten in R
heißen Termumformungen. Terme, die durch Termumformungen ineinander
übergehen, sind gleich.
4.2 Termumformungen
a) Ordnen
- Zahlen nach vorn
Beispiel:
a+5+b+11=16+a+b
- Gleiche Variablen zueinander
Beispiel:
- Variablen in alphabetischer Reihenfolge und gleichartige
Terme zueinander
3a2b+4ab2+5a2b+2ab2
b) Ausklammern
Beispiel:
ab+ac+ad=a(b+c+d)
c) Ausmultiplizieren
Beispiel:
a(b+c+d)=ab+ac+ad
d) Addieren und Subtrahieren von Summen
Beispiel:
(a+b)+(c+d)=a+2b+c
e) Multiplizieren von Summen
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
f) Umformungen mit Hilfe der binomischen Formeln
Binomische Formeln:
1. Binomische Formel
(a+b)2=a2+2ab+b2
2. Binomische Formel
(a-b)2=a2-2ab+b2
3. Binomische Formel
(a+b)(a-b)=a2-b2
Beispiel:
1. Binomische Formel
(3u+6v)2=9u2+36uv+36v2
2. Binomische Formel
(xy-2x2)2=x2y2-4x3y+4x4
3. Binomische Formel
(2a+b2c)=(2a-b2c)=4a2-b4c2
Unter einer Minusklammer verstehen wir einen
Klammerterm, vor dem ein Minuszeichen steht, z.B. –(x+7a-2).
Man löst eine Minusklammer auf, indem man sie durch eine
Plusklammer ersetzt und innerhalb der Klammer alle Zeichen ändert.
Beispiel:
3a-(4+5b-a)-(x-7)=3a+(-4-5b+a)+(x-7)=3a-4-5b+a-x+7=3+4a-5b-x
4.3 Rechnen mit Bruchtermen
Gegeben seien zwei Bruchterme mit den Definitionsmengen D1
bzw. D2. In der Menge D1 und D2, in der kein
Nenner Null wird, kann man mit Bruchtermen wie mit Brüchen rechnen.
a)
Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit demselben Term zu
multiplizieren
Beispiel:
Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch denselben Term zu
dividieren.
Beispiel:
b)
Nennergleiche
Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man die Zählerterme addiert
(subtrahiert) und die Nennerterme beibehält.
Beispiel:
Bruchterme, die
nicht nennergleich sind, macht man durch Erweitern oder Kürzen nennergleich und
addiert (subtrahiert) sie dann.
Beispiel:
c) Bruchterme werden multipliziert, indem man die
Zählerterme multipliziert und die Nennerterme multipliziert.
Beispiel:
d) Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit
dem Kehrwert multipliziert.
Beachte dabei: Beim Kehrwert ist der ursprüngliche Zähler
zum Nenner geworden. Dadurch ändert sich in der Regel die Definitionsmenge!
Beispiel:
e) Im Nenner stehende Wurzeln lassen sich durch
geeignetes Erweitern beseitigen.
Rationalmachen des Nenners:
Beispiel:
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