4. Terme und Termumformungen
4.1 Bruchterme
Zahlen und Variablen sind Terme. Auch Summe,
Differenz, Produkt und Quotient von Termen sind wieder Terme.
Im Nenner darf kein Term stehen, der die zahl 0 bezeichnet!
Beispiel:
Ein Term, der im Nenner mindestens eine Variable enthält,
heißt Bruchterm.
Beispiel:
In der Definitionsmenge D eines Bruchterms dürfen die
Zahlen nicht vorkommen, für die der Nenner 0 wird.
Beispiel:
Alle Umformungen von Termen nach den Rechengesetzten in R
heißen Termumformungen. Terme, die durch Termumformungen ineinander
übergehen, sind gleich.
4.2 Termumformungen
a) Ordnen
- Zahlen nach vorn
Beispiel:
a+5+b+11=16+a+b
- Gleiche Variablen zueinander
Beispiel:
- Variablen in alphabetischer Reihenfolge und gleichartige
Terme zueinander
3a2b+4ab2+5a2b+2ab2
b) Ausklammern
Beispiel:
ab+ac+ad=a(b+c+d)
c) Ausmultiplizieren
Beispiel:
a(b+c+d)=ab+ac+ad
d) Addieren und Subtrahieren von Summen
Beispiel:
(a+b)+(c+d)=a+2b+c
e) Multiplizieren von Summen
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
f) Umformungen mit Hilfe der binomischen Formeln
Binomische Formeln:
1. Binomische Formel
(a+b)2=a2+2ab+b2
2. Binomische Formel
(a-b)2=a2-2ab+b2
3. Binomische Formel
(a+b)(a-b)=a2-b2
Beispiel:
1. Binomische Formel
(3u+6v)2=9u2+36uv+36v2
2. Binomische Formel
(xy-2x2)2=x2y2-4x3y+4x4
3. Binomische Formel
(2a+b2c)=(2a-b2c)=4a2-b4c2
Unter einer Minusklammer verstehen wir einen
Klammerterm, vor dem ein Minuszeichen steht, z.B. –(x+7a-2).
Man löst eine Minusklammer auf, indem man sie durch eine
Plusklammer ersetzt und innerhalb der Klammer alle Zeichen ändert.
Beispiel:
3a-(4+5b-a)-(x-7)=3a+(-4-5b+a)+(x-7)=3a-4-5b+a-x+7=3+4a-5b-x
4.3 Rechnen mit Bruchtermen
Gegeben seien zwei Bruchterme mit den Definitionsmengen D1
bzw. D2. In der Menge D1 und D2, in der kein
Nenner Null wird, kann man mit Bruchtermen wie mit Brüchen rechnen.
a)
Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit demselben Term zu
multiplizieren
Beispiel:
Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch denselben Term zu
dividieren.
Beispiel:
b)
Nennergleiche
Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man die Zählerterme addiert
(subtrahiert) und die Nennerterme beibehält.
Beispiel:
Bruchterme, die
nicht nennergleich sind, macht man durch Erweitern oder Kürzen nennergleich und
addiert (subtrahiert) sie dann.
Beispiel:
c) Bruchterme werden multipliziert, indem man die
Zählerterme multipliziert und die Nennerterme multipliziert.
Beispiel:
d) Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit
dem Kehrwert multipliziert.
Beachte dabei: Beim Kehrwert ist der ursprüngliche Zähler
zum Nenner geworden. Dadurch ändert sich in der Regel die Definitionsmenge!
Beispiel:
e) Im Nenner stehende Wurzeln lassen sich durch
geeignetes Erweitern beseitigen.
Rationalmachen des Nenners:
Beispiel:
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